Sistemas de inventarios
Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones.
Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su "política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos
- Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.
- Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
- Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.
INTRODUCCIÓN
Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su "política de inventarios", es decir, cuándo y cómo se reabastece?. En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas pequeñas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la "administración científica del inventario". En particular, ellos
- Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios.
- Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
- Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVENTARIO
Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).
Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimización de un a función de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.
Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero características básicas de un sistema de inventarios:
Parámetros económicos: estos parámetros incluyen los tipos siguientes:
- Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.
- Precios de compra o costo de producción. Este parámetro de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.
- Precio de venta. En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.
- Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el articulo se tiene en almacén.
Demanda. El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente:
La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribución conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista).
La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.
Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:
- Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos".
- Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.
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| Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista. |
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| Reabasto del almacén: aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reaprovisionamiento de almacén. |
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| Horizonte de Tiempo: el horizonte define el período sobre el cual el nivel de inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda. |
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| Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple. |
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| Número de artículos: Un sistema de inventarios puede comprender más de un articulo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados. |
SISTEMAS DE INVENTARIO
Dos sistemas de inventario muy utilizados son el sistema de pedido de tamaño fijo y el sistema de pedido de intervalo fijo. Se designa como sistema Q al sistema de pedido de tamaño fijo, mientras que el sistema de pedido de intervalo fijo se designa como sistema P. La diferencia básica entre los dos consiste en que en el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos variables de tiempo y en el sistema P se ordena cantidad variable a intervalos fijos de tiempo.
MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:
| 
| La demanda se efectúa a tasa constante. |
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| El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita). |
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| Todos los coeficientes de costos son constantes. |
En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta.
En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Símbolos
Q = Cantidad optima a pedir
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre pedidos
T = Periodo de Planeación
En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica pedida.
Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.
El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo:
|
| Costo unitario del producto (C1) |
|
| Costo de ordenar una compra (C2) |
|
| Costo de mantener un producto en almacén (C3) |
El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera:
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo]
El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente:
Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.
MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones:
|
| La demanda se efectúa a tasa constante. |
|
| El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita). |
|
| Todos los coeficientes de costos son constantes. |
Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante.
En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente esquema.
Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre pedidos
T = Periodo de Planeación
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario
t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.
Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de ventas.
En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un periodo.
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]
MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones de este modelo son las siguientes.
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| La demanda se efectúa a tasa constante. |
|
| El reemplazo es instantáneo(la tasa se reemplazo es finita). |
|
| Todos los coeficientes de costos son constantes. |
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| La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. |
Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).
Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de compra sin déficit.
En el siguiente esquema se representa este modelo.
Q = Cantidad optima a producir
R = Tasa de manufacturación
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre tandas de producción
T = Periodo de Planeación
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario
MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones para este modelo son las siguientes:
|
| La demanda se efectúa a tasa constante. |
|
| El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita). |
|
| Todos los coeficientes de costos son constantes. |
|
| La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. |
En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre tandas de producción
T = Periodo de Planeación
t1 t4= Tiempo de manufacturación
t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.
Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales mas bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente gráfica se representa este modelo.
Ni = Cantidades a pedir
Costoi = Costos de adquirir la cantidad Ni
En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes:
| De | A | Costo Unitario |
| 0 | 10, 000 | $ 5.00 |
| 10, 001 | 20,000 | $4.50 |
| 20, 001 | 30, 000 | $3.00 |
| 30, 001 | En adelante | $2.00 |
Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.
Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos.
Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.
Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.
Pasos para la aplicación de este modelo.
Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica en donde se representa este modelo.
PASO 1.
El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan.
PASO 2.
El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus respectivos niveles de precio(Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará como un valor optimo. De igual manera se realizará un a comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad optima estará definida por el limite inferior del intervalo.
En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 será su limite inferior, o sea, Q2 = N1.
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto producto.
| De | A | Costo Unitario |
| 0 | 10, 000 | C11 |
| 10, 001 | 20,000 | C12 |
| 20, 001 | 30, 000 | C13 |
| 30, 001 | En adelante | C14 |
Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13.
Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.
Por consiguiente el costo de 25 000 unidades será:
Costo = C11(10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)
Para el modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente manera:
Costo = C13(25 000)
TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA
Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:
1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia?
2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?
3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?
4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?
NOTACIÓN KENDALL
Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.
En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se mencionan a continuación:
|
| Markov |
|
| Determinística |
|
| General |
La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.
Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio.
La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra.
Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, kendall, matemático británico elaboro una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un sistema de líneas de espera se designa como
A / B / C
En donde
A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada.
B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.
C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio.
La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notación Kendall como
M / D / 3
En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada.
Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:
|
| El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera. |
|
| La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma de grupos. |
|
| Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema. |
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| Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila. |
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| Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila. |
Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:
Modelo M / M / 1
Modelo M / M / S
Modelo M / G / 1
Modelo M / D / 1
MODELO M / M / 1
Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor.
Llegadas aleatorias (M / M / 1)
En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.
Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.
En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".
Si conocemos el numero promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del numero de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.
En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:
P[n llegadas en le tiempo T] =
Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora esta dada por:
P[6 llegadas en le tiempo en una hora] =
= 0.0892
Tiempo de servicio aleatorio (M / M / 1)
Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.
La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por:
F(t) = m e-m t
Es posible emplear esta formula para calcular la probabilidad de que el servicio sea mas prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.
Características de operación
Para calcular las características de operación de una cola M / M / 1, primero debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m . Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al numero promedio que se atienden y el numero de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la fracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que:
Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.
Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de:
A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante:
en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.
La primera característica de operación que calculamos es el numero promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entonces tenemos que:
Con estos valores obtenidos podemos calcular el numero promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq. Dado que L es el numero de unidades que están esperando o están siendo atendidas, y r es el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en algún momento dado entonces:
L = Lq + r
A partir de esto es fácil observar que
Lq = L - r
O también podríamos decir que
Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el tiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema. Para encontrar W, observaremos que se L el numero esperado de unidades de en le sistema y l es el numero promedio de unidades que llegan para ser atendidas por periodo, entonces el tiempo promedio de cualquier unidad que llega debe estar en le sistema está dado por:
W = tiempo promedio de una unidad en el sistema
De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, Wq, esta dado por:
En la siguiente figura se representa este modelo.
MODELO M / M / S
Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.
El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es lago mas complicado que los cálculos para el caso de canal único, y dado que primordialmente nos interesa las implicaciones de estas características mas que las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en le uso de tablas elaboradas a partir de estas formulas para hacer los cálculos.
Características de operación.
En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede representar como:
P(Sistema ocupado) = 
Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:
P(Sistema ocupado) = 
En donde Po estará representado por
Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo M / M / S, al igual que el modelo M / M / 1, se tiene que L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor P(sistema ocupado) para calcular Lq:
Lq = P(sistema ocupado) x 
Ahora calcularemos el valor L
Lq = P(sistema ocupado) x 
En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1, W = L / l y Wq = Lq / l , por ello se tiene que
En la siguiente figura se representa este modelo.
MODELO M / G / 1
Descripción.
Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.
En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.
La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características de operación.
Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse formula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.
Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:
Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:
MODELO M / D / 1
Descripción.
Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera.
En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:
Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de este valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:
Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:
